2. 線性誤差修正

假使我們考慮一個線性方程組, $Ax = b$.

經由任何的數值方法計算過後，得到了一個有誤差的$\tilde x$。假設我們知道帶回原方程式之後，我們可以得到的殘量(residual)為$r = b-A\tilde{x}$.

若是我們考慮一個新的方程式$Ad = r$，則我們可以知道原方程式的解為$\tilde{x}+d$，因為$A(\tilde{x}+d) = A\tilde{x} + Ad = (b-r) + r = b$。

這裡的$d$我們稱為$x$的修正量。

我們將residual寫為一個函式$r(x) = b - Ax$，我們希望求得的解$x$要滿足$r(x) = b- Ax = 0$。 在給訂初始值$x_0$的情況下，我們可以算出$r(x_0)= b - A x_0$, 因此我們能夠得到解$x = x_0 + A^{-1}r_0$。